quarta-feira, 24 de abril de 2013

Divisão e multiplicação de radicais

Adição e Subtração de radicais  





Simplificação de radicais


Certas situações envolvendo radicais podem ser simplificadas utilizando algumas técnicas matemáticas. Vamos através de propriedades, demonstrar como simplificar números na forma de radicais, isto é, números ou letras que podem possuir raízes exatas ou não. Nesse último caso, a simplificação é primordial para os cálculos futuros.
n: índice da raiz
a: radicando
b: raiz 


1º propriedade: O expoente do radicando é menor que o índice. Dessa forma, reduzimos o índice e o expoente através da utilização do máximo divisor comum aos termos. Observe:





2ª propriedade: O expoente do radicando é maior ou igual ao índice. Dessa forma, simplificamos o expoente pelo mesmo valor do índice e retiramos a base do radicando.




3ª propriedade: Introdução de termos no radicando. O termo externo introduzido no radicando, recebe como expoente o mesmo valor numérico do índice.




4ª propriedade: Simplificação de radicais com frações algébricas no radicando.

5ª propriedade: Raiz de números na forma de fração. Nesse caso, devemos extrair a raiz do numerador e do denominador da fração numérica, fornecendo o resultado na forma de fração.

6ª propriedade: Racionalização de denominadores. Pode ocorrer em algumas frações, a presença de radicais no denominador. Caso a raiz do radical envolva como resultado, números irracionais, o cálculo se torna complexo. Por isso, devemos racionalizar as frações com radicais no denominador. A racionalização é feita multiplicando os membros da fração pelo radical presente no denominador. Observe os exemplos:

Raiz de um número real   
Agora iremos estudar raízes que podem ter qualquer número natural maior que 2 como índice.Veja o exemplo abaixo:
# =4  ⇨⇨⇨ (Pois,42=4×4=16).
# =3  ⇨⇨⇨ (Pois,33=3×3×3=27).
# =2  ⇨⇨⇨ (Pois,24=2×2×2×2=16).
Determinação da raiz de um   número real
Na determinação da raiz enésima de um número real a,ou seja,  podem ocorrer os seguintes casos:
1º Caso: a⩾0e o índice n é um número inteiro positivo,diferente de 1.
Exemplos:
# =5⇔52=25               
# =4⇔43=64
# =3⇔34=81
Ou seja: a sendo um número maior ou igual a 0 e n seja um número inteiro positivo diferente de 1 ,dizemos que a expressão  corresponde ao número real não-negativo b tal que bn=a. 
  =b⇔bn=a
2º Caso: a < 0 e o índice é um número inteiro positivo ímpar,diferente de 1.
Exemplos:
# =-3
# =-2
# =-7
Ou seja: a maior que 0 e n um número inteiro positivo ímpar,diferente de 1 , a raiz é um número real negativo.
3º Caso: a < 0 e o índice é um número inteiro positivo par.
Exemplos:
#  não se define em R,pois nenhum número real elevado ao quadrado é igual a     -4.
#  não se define em R,pois nenhum número real elevado a quarta potência de é igual a -16.
Propriedades dos radicais
Agora vamos estudar as propriedades dos radicais.
1º propriedade:Essa propriedade corresponde a uma simplificação do índice da raiz com o expoente do radicando.Observe a igualdade abaixo:
#  =4                               #64=43
Assim  temos 43=4 ,pois,se o índice do radical é igual ao expoente do radicando,a raiz é igual á base da potência do radicando.
2º propriedade: De modo geral , o radical de um produto é igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando.
Exemplos:
# = =8         ou    # × =2×4=8
# = =15    ou   # × =3×5=15
3º propriedade:O radical de um quociente é igual ao quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando.
Exemplos:
#  =      
#  =