Neste blog você vai ter uma nova visao da ciência dos cálculos,a matemática de maneira simples e clara.
quarta-feira, 24 de abril de 2013
Simplificação de radicais
Certas situações envolvendo radicais podem ser simplificadas utilizando algumas técnicas matemáticas. Vamos através de propriedades, demonstrar como simplificar números na forma de radicais, isto é, números ou letras que podem possuir raízes exatas ou não. Nesse último caso, a simplificação é primordial para os cálculos futuros.
n: índice da raiz
a: radicando
b: raiz
1º propriedade: O expoente do radicando é menor que o índice. Dessa forma, reduzimos o índice e o expoente através da utilização do máximo divisor comum aos termos. Observe:
a: radicando
b: raiz
1º propriedade: O expoente do radicando é menor que o índice. Dessa forma, reduzimos o índice e o expoente através da utilização do máximo divisor comum aos termos. Observe:
2ª propriedade: O expoente do radicando é maior ou igual ao índice. Dessa forma, simplificamos o expoente pelo mesmo valor do índice e retiramos a base do radicando.
3ª propriedade: Introdução de termos no radicando. O termo externo introduzido no radicando, recebe como expoente o mesmo valor numérico do índice.
4ª propriedade: Simplificação de radicais com frações algébricas no radicando.
5ª propriedade: Raiz de números na forma de fração. Nesse caso, devemos extrair a raiz do numerador e do denominador da fração numérica, fornecendo o resultado na forma de fração.
6ª propriedade: Racionalização de denominadores. Pode ocorrer em algumas frações, a presença de radicais no denominador. Caso a raiz do radical envolva como resultado, números irracionais, o cálculo se torna complexo. Por isso, devemos racionalizar as frações com radicais no denominador. A racionalização é feita multiplicando os membros da fração pelo radical presente no denominador. Observe os exemplos:
Raiz de um número real
Agora
iremos estudar raízes que podem ter qualquer número natural maior que 2 como
índice.Veja o exemplo abaixo:
#
=4 ⇨⇨⇨ (Pois,42=4×4=16).
#
=3 ⇨⇨⇨ (Pois,33=3×3×3=27).
#
=2 ⇨⇨⇨ (Pois,24=2×2×2×2=16).
Determinação da raiz de um
número real
Na determinação da raiz enésima de um número real a,ou seja,
podem ocorrer os seguintes
casos:
1º Caso: a⩾0e o índice n
é um número inteiro positivo,diferente de 1.
Exemplos:
#
=5⇔52=25
#
=4⇔43=64
#
=3⇔34=81
Ou seja: a sendo um número maior ou igual a 0 e n
seja um número inteiro positivo diferente de 1 ,dizemos que a expressão
corresponde
ao número real não-negativo b tal que bn=a.
2º Caso: a < 0 e o índice é um número
inteiro positivo ímpar,diferente de 1.
Exemplos:
#
=-3
#
=-2
#
=-7
Ou seja: a maior que 0 e n um número inteiro
positivo ímpar,diferente de 1 , a raiz é um número real negativo.
3º Caso: a < 0 e o índice é um número
inteiro positivo par.
Exemplos:
#
não se define em R,pois
nenhum número real elevado ao quadrado é igual a -4.
#
não se define em R,pois
nenhum número real elevado a quarta potência de é igual a -16.
Propriedades dos radicais
Agora vamos estudar as propriedades dos radicais.
1º propriedade:Essa propriedade corresponde a uma
simplificação do índice da raiz com o expoente do radicando.Observe a igualdade
abaixo:
#
=4 #64=43
Assim temos
43=4 ,pois,se o índice do radical é igual ao expoente
do radicando,a raiz é igual á base da potência do radicando.
2º propriedade: De modo geral , o radical de um produto é
igual ao produto dos radicais de mesmo índice dos fatores do radicando.
Exemplos:
#
=
=8 ou #
×
=2×4=8
#
=
=15 ou #
×
=3×5=15
3º propriedade:O radical de um quociente é igual ao
quociente dos radicais de mesmo índice dos termos do radicando.
Exemplos:
#√
=
#√
=
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