terça-feira, 26 de novembro de 2013

Área do paralelogramo

Primeiro, vamos definir o que é um paralelogramo. Todo quadrilátero que possui os lados oposto paralelos é chamado de paralelogramo. Dessa forma, podemos dizer que o quadrado, o retângulo e o losango são exemplos de paralelogramos.
Para encontrarmos a área de um paralelogramo é necessário conhecer somente as medidas da base e de sua altura. Sabendo as medidas desses elementos, a área do paralelogramo será dada por:

Vamos resolver alguns exemplos para compreender melhor o uso da fórmula acima.
Exemplo 1. Calcule a área de um paralelogramo cuja base mede 15 cm e a altura 12 cm.

Solução: De acordo com o enunciado do problema, sabemos que b = 15 cm e h = 12 cm.

Assim, podemos aplicar a fórmula da área do paralelogramo.

A = base x altura
A = 15 x 12

A = 180 cm2.


Não se esqueça que as unidades de medida de área sempre estão elevadas ao quadrado: m2, cm2, km2, etc.

Exemplo 2. Determine a área da figura abaixo:

 
Solução: A figura acima é um paralelogramo (veja os lados opostos paralelos) cuja base mede 25 cm e a altura, 20 cm. Observe que a altura forma um ângulo de 90o (ângulo reto) com a base. Como sabemos as medidas da altura e da base, basta utilizar a fórmula da área. Assim, teremos:

A = base x altura
A = 25 x 20
A = 500 cm2

Portanto, o paralelogramo da figura apresenta uma área de 500 cm2.

Área do retângulo e do quadrado

Existem dois tipos de retângulos: com os lados todos iguais (quadrado) e com os lados diferentes.



No cálculo de qualquer retângulo podemos seguir o raciocínio abaixo:


Pegamos um retângulo e colocamos em uma malha quadriculada onde cada quadrado tem dimensões de 1 cm. Se contarmos, veremos que há 24 quadrados de 1 cm de dimensões no retângulo. Como sabemos que a área é a medida da superfície de uma figuras podemos dizer que 24 quadrados de 1 cm de dimensões é a área do retângulo.



O retângulo acima tem as mesmas dimensões que o outro, só que representado de forma diferente. O cálculo da área do retângulo pode ficar também da seguinte forma:

A = 6 . 4
A = 24 cm
2 Podemos concluir que a área de qualquer retângulo é:



A = b . h


Quadrado 
É um tipo de retângulo específico, pois tem todos os lados iguais. Sua área também é calculada com o produto da base pela altura. Mas podemos resumir essa fórmula:


Como todos os lados são iguais, podemos dizer que base é igual a e a altura igual a , então, substituindo na fórmula A = b . h, temos:

A =  .   
Área do losango

O losango é um quadrilátero (polígono com quatro lados) que possui lados opostos paralelos e congruentes (todos os lados tem a mesma medida) e duas diagonais que se interceptam exatamente no ponto médio de cada uma e são perpendiculares. Todo losango é também paralelogramo.


Como as diagonais do losango se interceptam em seus pontos médios sob um ângulo reto (formam um ângulo de 90°), podemos obter a área do losango a partir da área de um retângulo.
Considere o losango cujas medidas das diagonais são D (diagonal maior) e d (diagonal menor):

Pelos vértices do losango, traçamos paralelas às diagonais e obtemos o retângulo ACBD:

O losango ocupa a metade da superfície do retângulo ABCD. Como a área do retângulo é:
A = b . h
Então a área do losango é:

Onde b = d e h = D
b é a medida da base do retângulo
d é a medida da diagonal menor do losango
h é a medida da altura do retângulo
D é a medida da diagonal maior do losango
Temos então:

Podemos também obter a área do losango de outra maneira:

Onde:
  • l é a medida dos lados do losango
  • d é a medida da diagonal menor, pois é a menor diagonal
  • D é a medida da diagonal maior
Se olharmos para a figura abaixo, o losango nada mais é que a união de dois triângulos congruentes, ou seja, triângulos iguais com todas as medidas iguais.

Então basta somarmos as áreas dos dois triângulos e vamos obter a área do losango. Portanto vamos fazer isso, somar a área dos dois triângulos. Como os dois triângulos têm a mesma medida, basta pegar o dobro da área.
Sabemos que a área do triângulo é 

Porém b = d e h = D / 2 . Onde:
  • b é a medida da base do retângulo
  • d é a medida da diagonal menor do losango
  • h é a medida da altura do retângulo
  • D/2 é a medida da metade da diagonal maior do losango
Então o dobro da área do triângulo é:

Multiplicamos por dois porque queremos o dobro.
Temos que:

ou seja, a área do losango é diagonal menor multiplicado pela diagonal maior dividido tudo por dois.
Área do trapézio
A área do trapézio está relacionada com a área do triângulo que é calculada utilizando a seguinte fórmula: A = b . h (b = base e h = altura).
                                           2
Observe o desenho de um trapézio e os seus elementos mais importantes (elementos utilizados no cálculo da sua área):



Um trapézio é formado por uma base maior (B), por uma base menor (b) e por uma altura (h).

Para fazermos o cálculo da área do trapézio é preciso dividi-lo em dois triângulos, veja como:

Primeiro: completamos as alturas no trapézio:



Segundo: o dividimos em dois triângulos:



A área desse trapézio pode ser calculada somando as áreas dos dois triângulos (∆CFD e ∆CEF).
Antes de fazer o cálculo da área de cada triângulo separadamente observamos que eles possuem bases diferentes e alturas iguais.

Cálculo da área do ∆CEF:

A∆1 = B . h
               2

Cálculo da área do ∆CFD:

A∆2 = b . h
               2

Somando as duas áreas encontradas, teremos o cálculo da área de um trapézio qualquer:

AT = A∆1 + A∆2

AT = B . h + b . h
             2         2

AT = B . h + b . h → colocar a altura (h) em evidência, pois é um termo comum aos dois fatores.
                  2

AT = h (B + b)
                  2

Portanto, no cálculo da área de um trapézio qualquer utilizamos a seguinte fórmula:
A = h (B + b)
              2


h = altura
B = base maior do trapézio
b = base menor do trapézio

Área do triângulo
 A forma triangular é bastante usada em várias situações do nosso cotidiano. Mas, e como faremos para calcular a área do triângulo? Para isso vamos considerar o triângulo de base b e altura h, ou seja, construiremos o triângulo ABC com base BC e altura h, como está representado na figura:

Pelo vértice oposto à base b que consideramos, traçamos uma reta paralela, dessa forma obtemos a seguinte figura:

Traçamos por C uma reta paralela a AB, obtendo assim o paralelogramo ABCD:

Assim, a área do triângulo é a metade de área do paralelogramo, isto é, a área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, ou seja,

Temos então que a área de um triângulo pode ser determinada encontrando as medidas de um de seus lados (tomado por base) e a altura correspondente a esse lado. A altura é a distância do vértice até a linha que da a base da figura. Nessas condições um dos lados e a altura correspondente a área do triângulo pode ser determinada pegando a metade do produto entre a base e a altura. Como mostra a fórmula acima.
No caso do triângulo ser equilátero (todos os lados iguais) calcularemos a área dele da seguinte maneira:

Assim como todo triângulo, sua área é dada por:

Neste caso, a base mede l e a altura h

Primeiro calcularemos o valor da altura h, aplicando o teorema de Pitágoras:

Agora vamos determinar a área:

Metro Quadrado

A criação do Sistema Métrico Decimal foi uma contribuição fundamental da Revolução Francesa. Ele se baseia em múltiplos de dez, daí o nome decimal. A sua unidade básica é o Metro inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre. Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopo 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório. Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceito. Apenas os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema. Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI). Este sistema é baseado em sete unidades de medida:
  -O Metro para unidade de comprimento (m);
  -O Quilograma para unidade de massa (kg);
  -O Segundo para unidade de tempo (s);
  -O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
  -A Candela para unidade de intensidade luminosa (cd);
  -O Ampère como unidade elétrica (A);
  -O Mole para a quantidade de substância (mol).
É importante compreendermos que medir é comparar com uma medida padrão adotada. Para medirmos comprimento utilizamos o padrão universal metro. Como a medida padrão metro se torna pequena para medirmos grandes comprimentos e muito grande ao medirmos pequenos comprimentos foram criados os múltiplos e submúltiplos do metro.Como mostramos na tabela a seguir:


Comprimento e área de uma circunferência

 Conside uma circunferência de centro O e raio R, como na figura:

Essa circunferência possui um comprimento. Para determiná-lo basta medir o contorno da região circular com um barbante.
Feita a medida, relaciona-se o comprimento da circunferência (medida do barbante) com o seu diâmetro (2*R), dessa forma, nota-se que o comprimento possui um valor pouco superior ao diâmetro. Realizando esses cálculos em qualquer região circular, o resultado dessa relação é proporcionalmente o mesmo. Isso ocorre porque quando se divide o comprimento de uma circunferência pelo seu diâmetro, encontra-se um valor fixo, um número irracional denominado pi (representado pela letra grega π), que possui valor aproximado de 3,141592... . Com base no valor constante de π, para encontrar o comprimento de uma circunferência basta aplicar a seguinte definição:
É possível optar por duas expressões matemáticas no cálculo do comprimento da circunferência:

Com base no diâmetro: C = d * π

Com base no raio: C = 2 * r * π

Área

Para determinar a área de uma circunferência, parte-se da definição de circunferências concêntricas, que são regiões circulares que possuem o mesmo centro, observe a ilustração:
Vamos supor que as circunferências concêntricas sejam fios (barbantes). Traçando um corte do centro até a extremidade do maior círculo, tem-se a figura a seguir:
Esticando os fios, a figura formada lembra um triângulo. Se calcularmos sua área, determinaremos a área da circunferência, mas vale ressaltar que a altura desse triângulo corresponde ao raio da maior circunferência; e a base do triângulo, ao comprimento da circunferência.
Lembrando que a área do triângulo é calculada de acordo com a seguinte expressão: .

Assim, a área da circunferência será:
Razões trigonométricas de 30º,45º e 60º
Podemos resumir os valores para o seno, co-seno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º em uma única tabela. Tais valores serão usados freqüentemente daqui em diante.

Teorema de Pitágoras
O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo . Na Geometria euclidiana , o teorema afirma que:
=>O quadrado da hipotenusa é igual á soma dos quadrados dos catetos.Ou seja:hip² = c² + c²

Exemplo:Considerando o triângulo abaixo , descubra o valor da hipotenusa através do Teorema de Pitágoras.
 
             Resolução
hip² = c² + c²
(x)² = (30)² + (16)²
x²=900+256
x²=1156
x=±√1156
x=±34 = +34
 
OBS.:No caso acima , em relção ao ±34 ,iremos tirar o menos ,porque a hipotenusa não pode ser de valor negativo.
 
Seno,Cosseno e Tangente.

Seno
 Seno é uma função da trigonometria.Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.Observe o exemplo abaixo:

Para descobrir o valor do seno da imagem acima , devemos fazer a seguinte conta:

          sen=Cateto Oposto 
                   Hipotenusa     
          sen=X
                  9
Cosseno:
Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.Para calcular a tangente faremos o seguinte cálculo: 
         
         cos=Cateto Adjacente
                     Hipotenusa
         cos=Y
                          9

Tangente:
Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a proporção entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda proporção, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da proporção.Para calcular a tangente faremos o seguinte cálculo:

         tan=Cateto Oposto
              Cateto Adjacente
         tan=X
                Y








trigonometria

Trigonometria
Trigonometria é a parte da matemática  que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados(ou catetos) de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. Observe a imagem abaixo:

Definições:
Hipotenusa:é o lado do triângulo que é oposta ao ângulo reto(90º).
Catetos:são os lados do triângulo que formam o ângulo reto(90º).Eles se dividem em Cateto Oposto e Cateto Adjacente.
Cateto Oposto:é o cateto que fica oposto do ângulo em estudo.
Cateto Adjacente:é o cateto que forma o ângulo em estudo.Observe a imagem abaixo:

 
 
Neste caso o ângulo em estudo é o ângulo é o ângulo ''C'', a hipotenusa é o lado ''a'',o cateto oposto é o lado ''c'',e o cateto adjacente é o lado ''b''.